\(\triangleright\) Expression du vecteur accélération en coordonnées intrinsèques (Serret-Frenet) :
On sait que \(\vec v = ||\vec v||\vec u_\tau = |v|\vec u_\tau\)
$$\vec a = \frac{d\vec v}{dt} = \frac{dv}{dt}\vec u_\tau + v\frac{d\vec u_{\tau}}{dt}$$
On cherche \(\frac{d\vec u_\tau}{dt}\):
- Puisque les points \(M\) et \(M'\) sont très proches, on peut estimer la trajectoire entre ces deux points comme un arc de cercle
$$\vec u_\tau(t+dt) = \cos(d\phi)\vec u_\tau(t) + \sin(d\phi)\vec u_N(t)$$
Comme les angles sont petits, on a :
$$\vec u_\tau(t+dt) =\vec u_\tau(t) + d\phi\vec u_N(t)$$
$$u_\tau (d+dt) - u_\tau(t) = d\phi. \vec u_N(t)$$
$$d\vec u_\tau = d\phi.\vec u_N(t)$$
$$\frac{d\vec u_\tau}{dt} = \frac{d\phi}{dt}\vec u_N(t)$$
Or, on a : $$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d\phi}{ds}\times\frac{ds}{dt} = \frac{d\phi}{ds}v$$
Or,
$$ds = R\times d\phi \longrightarrow \frac{d\phi}{ds} = \frac 1R$$
Ainsi,
$$\frac{d\vec u_\tau}{dt} = \frac 1Rv.\vec u_N(t)$$
Enfin,
$$\vec a = \frac{dv(t)}{dt}\vec u_\tau+ \frac {v(t)^2}R\vec u_N(t)$$